“4 điểm đồng phẳng là gì?” Chắc hẳn bạn đã nghe qua khái niệm này trong lĩnh vực hình học và đại số. Trong bài viết này, hamhochoi.net sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về 4 điểm đồng phẳng và giải thích tại sao chúng quan trọng và được áp dụng rộng rãi.Hãy đồng hành cùng chúng tôi để khám phá thêm về khái niệm này và những điều thú vị liên quan trong bài viết dưới đây.
Khái niệm 4 điểm đồng phẳng là gì ?
4 điểm đồng phẳng là một khái niệm trong hình học Euclid để chỉ một tập hợp bốn điểm trong không gian mà chúng nằm trên cùng một mặt phẳng. Điều quan trọng là không có ba điểm nào trong số đó thẳng hàng. Nói cách khác, bốn điểm này có thể được kết nối bởi các đoạn thẳng và nằm trên một mặt phẳng duy nhất.
Khái niệm này là cơ sở cho nhiều khái niệm và bổ đề trong hình học, như tứ diện, hình bình hành, hình chữ nhật, và nhiều hình khối khác.
Ví dụ : khi chúng ta xem xét một tấm ván nằm trên mặt đất. Giả sử chúng ta đặt bốn đinh đinh vào tấm ván tại các vị trí khác nhau. Nếu chúng ta có thể đặt ván trên mặt đất sao cho bốn đinh đinh không thẳng hàng, thì bốn đinh đinh đó được coi là 4 điểm đồng phẳng. Trong trường hợp này, mặt phẳng được tạo ra bởi tấm ván chính là mặt phẳng chứa bốn điểm đó.
Điều kiện để 4 điểm đồng phẳng
Để bốn điểm A, B, C và D nằm trên cùng một mặt phẳng, điều kiện cần và đủ là chúng không thẳng hàng. Điều này có nghĩa là không có một đường thẳng nào có thể đi qua cả bốn điểm đó.
một số phương pháp bốn điểm có đồng phẳng hay không:
Sử dụng ma trận: Tạo ma trận 4×4 với các hàng lần lượt chứa tọa độ của các điểm A, B, C và D. Tính định thức của ma trận này. Nếu định thức bằng 0, tức là bốn điểm không đồng phẳng. Ngược lại, nếu định thức khác 0, tức là bốn điểm đồng phẳng.
Sử dụng phép chiếu: Chọn một điểm làm gốc tọa độ và tạo các vectơ từ gốc tọa độ đến các điểm A, B, C và D. Nếu các vectơ này đồng phẳng (cùng một mặt phẳng), thì bốn điểm cũng đồng phẳng.
Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng: Xây dựng phương trình tổng quát của mặt phẳng thông qua ba điểm A, B và C. Kiểm tra xem điểm D có thỏa mãn phương trình tổng quát đó hay không. Nếu thỏa mãn, tức là bốn điểm đồng phẳng.
Ví dụ:cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P, Q thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA. chứng minh rằng M, N, P, Q đồng phẳng,
Tứ diện ABCD không đồng phẳng và M, N, P, Q nằm trên một mặt phẳng duy nhất.
Giả sử ABCD không đồng phẳng. Đặt →MA = x→MB; →NB = y→NC; →PC = z→PD; →QD = t→QA.
Ta có: →AM = -(x/(1-x))→AB; →AN = (1/(1-y))(→AB – y→AC); →AP = (1/(1-z))(→AC – z→AD); →AQ = (1/(1-t))→AD.
Vì M, N, P, Q đồng phẳng, ta có: →AQ = m→AM + n→AN + p→AP; m + n + p = 1.
suy ra: (-m/(1-x))→AB + (m(1-y)/(1-x))(→AB – y→AC) + (m(1-y)(1-z)/(1-x))(→AC – z→AD) = →0.
Do ABCD không đồng phẳng, nên: -m/(1-x) + m(1-y)/(1-x) + m(1-y)(1-z)/(1-x) = 0.
suy ra: m(xyz – xyt)/(1-x) = -1.
Tương tự, ta cũng có: pzt/(1-z) = -1.
So sánh hai phương trình ta có: xyz – xyt = zt.
Do đó, xyzt = 1.
Xem thêm bài viết: Phương trình khó nhất thế giới ?
Công thức giá trị tuyệt đối, cách tính giá trị tuyệt đối
Một số bài bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = 1. Gọi mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện và cắt SA, SB, SC lần lượt tại A1, B1, C1.
chứng minh: 1/SA1 + 1/SB1 + 1/SC1 = 4.
Giải: G là trọng tâm của tứ diện SABC, ta có →SG = 1/4(→SA + →SB + →SC) = 1/4(SA(→SA1) + SB(→SB1) + SC(→SC1)).
Vì bốn điểm A1, B1, C1, G đồng phẳng, ta có:
1/4(SA/SA1 + SB/SB1 + SC/SC1) = 0.
suy ra: SA/SA1 + SB/SB1 + SC/SC1 = 0.
Nhưng SA = SB = SC = 1, vậy 1/SA1 + 1/SB1 + 1/SC1 = 4.
Tiếp theo, để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 1/SA1.SB1 + 1/SB1.SC1 + 1/SC1.SA1, ta áp dụng bất đẳng thức:
(a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca) với a, b, c là các số thực không âm.
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
T ≤ 1/3(1/SA1 + 1/SB1 + 1/SC1)^2 = 16/3.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là 16/3.
Dấu bằng xảy ra khi SA1 = SB1 = SC1, tức mặt phẳng (P) qua trọng tâm G và song song với mặt phẳng (ABC).
*Khi SA = a, SB = b, SC = c và đặt x = SA1, y = SB1, z = SC1, ta có ax + by + cz = 4.
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. G; J; A; B
B. A; B; M; N
C. G; J; M; N
D. M; N; K; J
Lời giải
+ Gọi K là trung điểm của CD.
+ Do G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD.
⇒ KG/KB = KJ/KA = 1/3
⇒ GJ // AB (định lí Ta-let đảo) (1)
+ Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
⇒ MN là đường trung bình của tam giác AB.
⇒ MN // AB (2).
Từ (1) và (2) suy ra: GJ // AB // MN.
⇒ Bốn điểm G; J; A; B đồng phẳng.
Bốn điểm G; J; M; N đồng phẳng
Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề sai?.
A. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
B. Ba đường thẳng ME; NF; SO đồng qui.
C. MN // EF.
D. Có đúng hai mệnh đề đúng
Lời giải
Gọi M’; N’; E’; F’ lần lượt là trung điểm các cạnh AB; BC; CD và DA.
+ Ta có SM/SM’ = 2/3, SN/SN’ = 2/3 ⇒ SM/SM’ = SN/SN’.
⇒ MN // M’N’ ( định lí Ta let đảo) (1).
+ Tương tự SE/SE’ = SF/SF’ ⇒ EF || E’F’ (2).
+ Lại có 
Từ (1); (2) và (3) suy ra MN // EF.
Vậy bốn điểm M; N; E và F đồng phẳng.
+ Dễ thấy M’N’E’F’ cũng là hình bình hành và O = M’E’ ∩ N’F’
Xét ba mặt phẳng (M’SE’),(N’SF’) và (MNEF) ta có :
(M’SE’) ∩ (N’SF’) = SO
(M’SE’) ∩ (MNEF) = ME
(N’SF’) ∩ (MNEF) = NF
ME ∩ NF = I.
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME; NF; SO đồng qui.
⇒ A; B, C đúng ; D sai
Chọn D
Bài tập 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M; N: P; Q; R; S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; AD; BC; CD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. P; Q; R; S
B. M; N; R; S
C. M; N;P; Q
D. M; P; R; S
Lời giải
Chọn A
+ Do PQ là đường trung bình của tam giác ABD nên PQ // BD.
+ Tương tự, ta có RS // BD.
Vậy PQ // RS nên 4 điểm P; Q; R; S cùng nằm trên một mặt phẳng.
+ Các bộ bốn điểm M; N; R; S hoăc M; N; P; Q hoặc M; P; R; S đều không đồng phẳng.
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA; SB; SC; SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng.
B. Bốn điểm M; N; E; F không đồng phẳng.
C. MN, EF chéo nhau.
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
Chọn A
+ Trong ( SAC); gọi I = ME ∩ SO.
+ Xét tam giác SAC có ME là đường trung bình nên ME // AC.
⇒ MI // AO và M là trung điểm của SA.
⇒ I là trung điểm của SO.
suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.
⇒ FI // OD. (1)
+ Tương tự ta có NI // OB (2).
Từ (1) và (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF.
Do ME ∩ NF = I nên ME và NF xác định một mặt phẳng.
Suy ra 4 điểm M; N; E, F đồng phẳng.
Như vậy, trong bài viết này hamhochoi.net đã giúp bạn trả lời câu hỏi “4 điểm đồng phẳng là gì” Mong rằng qua bài viết này giúp bạn giải quyết nhanh gọn các bài toán học, củng cố kiến thức cũng như đạt điểm tối đa về phần này trong các bài thi và học tập tốt hơn môn toán nhé.
