Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, định nghĩa chính xác về cực đại và cực tiểu của hàm số

Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu là bài toán thường gặp trong các nội dung về hàm số toán ở lớp 12. Cách xác định m để hàm số có cực đại và cực trị như thế nào? Câu trả lời sẽ được hamhochoi.net giải đáp và chia sẻ trong bài viết dưới đây.

Để tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu

Phương pháp tìm cực đại và cực tiểu như sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) theo biến x.
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Điểm này chính là điểm cực trị.
3. Tính đạo hàm thứ hai f”(x) của hàm số.
4. Kiểm tra dấu của f”(x) tại các điểm cực trị đã tìm được. Nếu f”(x) > 0, điểm cực trị là cực tiểu. Nếu f”(x) < 0, điểm cực trị là cực đại.
5. Kiểm tra các giới hạn và điều kiện xác định của hàm số để đảm bảo rằng điểm cực trị nằm trong miền xác định của hàm số..Ví dụ như

Định nghĩa chính xác về cực đại và cực tiểu của hàm số.

Dưới đây là một số điểm quan trọng để hiểu rõ hơn về cực đại và cực tiểu của hàm số:

1. Cực đại (Maximum Point): Điểm xo được gọi là điểm cực đại nếu giá trị của hàm số f(x) tại xo lớn hơn giá trị của hàm số tại các điểm x khác trong một khoảng nhỏ xung quanh xo.
2. Cực tiểu (Minimum Point): Điểm x1 được gọi là điểm cực tiểu nếu giá trị của hàm số f(x) tại x1 nhỏ hơn giá trị của hàm số tại các điểm x khác trong một khoảng nhỏ xung quanh x1.
3. Cực trị (Extremum Point): Cả cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị. Điểm cực trị là điểm mà hàm số đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
4. Điểm cực trị là điểm đặc biệt của hàm số, và nó có thể có nhiều hoặc không có trong một hàm số. Số lượng và vị trí của các điểm cực trị phụ thuộc vào dạng và đặc tính của hàm số.
5. Để xác định điểm cực trị, chúng ta cần xét đạo hàm của hàm số và phân tích các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Sau đó, kiểm tra dấu của đạo hàm thứ hai tại các điểm đó để xác định liệu điểm đó là cực đại hay cực tiểu.

Để tìm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

1. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: Bạn tính đạo hàm của hàm số theo biến độc lập. Điều này sẽ cho bạn thông tin về sự biến thiên của hàm số.
2. Bước 2: Xác định điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Điểm cực trị là các giá trị của biến độc lập tương ứng với các điểm mà đạo hàm bằng 0.
3. Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm thứ hai: Tính đạo hàm thứ hai của hàm số và đánh giá dấu của nó tại các điểm cực trị đã tìm được. Nếu đạo hàm thứ hai lớn hơn 0, điểm cực trị là cực tiểu. Nếu đạo hàm thứ hai nhỏ hơn 0, điểm cực trị là cực đại. Nếu đạo hàm thứ hai bằng 0, phương pháp này không đưa ra kết luận và bạn cần áp dụng các phương pháp khác.
4. Bước 4: Kiểm tra các giới hạn và điều kiện xác định: Kiểm tra các giới hạn của hàm số khi biến độc lập tiến tới vô cùng và âm vô cùng. Đồng thời, kiểm tra các điều kiện xác định của hàm số để đảm bảo rằng điểm cực trị thuộc trong miền xác định của hàm số.

Đối với việc tìm cực đại và cực tiểu dựa vào xét dấu đạo hàm, các bước tương tự như trên, nhưng thay vì kiểm tra dấu của đạo hàm thứ hai, bạn xét dấu của đạo hàm tại các điểm cực trị. Nếu đạo hàm dương, điểm cực trị là cực tiểu. Nếu đạo hàm âm, điểm cực trị là cực đại.

Dưới đây là một bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết để bạn tham khảo:

Để tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5 trên đoạn [-2, 4], chúng ta sẽ áp dụng các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x): f'(x) = 3x^2 – 6x – 9

Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: 3x^2 – 6x – 9 = 0 Đặt f'(x) = 0, ta có: x^2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 Vậy, x = 3 hoặc x = -1.

Bước 3: Tính đạo hàm thứ hai f”(x) của hàm số: f”(x) = 6x – 6

Bước 4: Xét dấu của f”(x) tại các điểm cực trị đã tìm được:

• Đối với x = 3: f”(3) = 6(3) – 6 = 12 > 0 Vậy, điểm (3, f(3)) là điểm cực tiểu.
• Đối với x = -1: f”(-1) = 6(-1) – 6 = -12 < 0 Vậy, điểm (-1, f(-1)) là điểm cực đại.

Bước 5: Kiểm tra các giới hạn và điều kiện xác định của hàm số:

• Với đoạn [-2, 4], không có giới hạn đặc biệt hoặc điều kiện xác định đặc biệt.

Vậy, trên đoạn [-2, 4], hàm số f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5 có một điểm cực tiểu tại (3, f(3)) và một điểm cực đại tại (-1, f(-1)).

Chú ý: Để kiểm tra tính cực đại và cực tiểu, cần xác minh rằng điểm đó thực sự nằm trong đoạn xác định [-2, 4].

Hy vọng với bài viết tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu ở nội dung toán trên của hamhochoi giúp các bạn giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi thắc mắc hay góp ý các bạn hãy để lại nhận xét dưới bài viết này để mình có thể ghi  nhận và hỗ trợ các bạn tốt nhất, chúc các bạn thành công.