Bài toán tìm m để hàm số có 4 điểm cực trị là một bài toàn phổ biến trong chương trình toán học lớp 12 và trong kỳ thi THPT Quốc Gia. Để giúp các bạn học sinh nắm rõ dạng toán này, bài viết của hamhochoi.net dưới đây sẽ trình bày một số dạng bài tập hay gặp nhất và cách giải.
Cực trị của hàm số là gì?
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được.
Giả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K
- x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
- x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý:
- Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
- Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.
- Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Định lí 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
Chú ý:
- Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
- Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
- Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Tìm m để hàm số có 4 điểm cực trị
Phương pháp
– Bước 1: Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì f’ (x0) = 0, tìm được tham số.
– Bước 2: Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại.
Ví dụ minh hoạ:
Cực trị của hàm số bậc 4?
– Định nghĩa cực trị của hàm bậc 4
Cho hàm số bậc 4 : 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒 với 𝑎≠0
Đạo hàm 𝑦′=4𝑎𝑥3+3𝑏𝑥2+2𝑐𝑥+𝑑
Hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) có thể có một hoặc ba cực trị .
Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm 𝑦′ đổi dấu
– Số điểm cực trị của hàm bậc 4
Xét đạo hàm 𝑦′=4𝑎𝑥3+3𝑏𝑥2+3𝑐𝑥+𝑑
- Nếu 𝑦′=0 có đúng 1 nghiệm thì hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu).
- Nếu 𝑦′=0 có 2 nghiệm (gồm 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép) thì hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu).
Nếu 𝑦′=0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) có 3 cực trị (gồm cả cực đại và cực tiểu).
Xem thêm bài viết: Tổng hợp tìm m để pt có 1 nghiệm duy nhất
Tính chất đường pg trong tam giác vuông, định nghĩa và công thức về đường phân giác
Trên đây là một số kiến thức về hàm số có điểm cực trị, hy vọng giúp bạn học sinh có thể trả lời câu hỏi tìm m để hàm số có 4 điểm cực trị,
Hamhọchoi.net chúc các bạn học tốt!
